Opções consistentes de preço de fx

Preços consistentes de opções de câmbio 1. Preços consistentes de opções de câmbio Antonio Castagna Fabio Mercurio Banca IMI, Milão Nos mercados atuais, as opções com diferentes greves ou vencimentos são geralmente preços com diferentes volatilidades implícitas Este fato estilizado, que é comumente referido como efeito de sorriso , Pode ser acomodado recorrendo a modelos específicos, quer para a determinação de preços de derivados exóticos, quer para inferir volatilidades implícitas para greves ou maturidades não cotadas. A primeira tarefa é normalmente conseguida através da introdução de dinâmicas alternativas para o preço do activo subjacente, De ajustes estáticos ou interpolações Neste artigo, lidamos com esta última questão e analisar uma possível solução em um mercado cambial de opções de câmbio FX Em tal mercado, na verdade, há apenas três cotações ativas para cada maturidade de mercado o straddle, o risco Reversa e a borboleta ponderada vega, apresentando-nos assim o problema de uma determinação consistente As outras volatilidades implícitas Os corretores de FX e os criadores de mercado normalmente abordam esta questão usando um procedimento empírico, também chamado Vanna-Volga VV, para construir o sorriso completo para um dado prazo As cotações de volatilidade são então fornecidas em termos das opções s, para Vai desde o 5 pôr ao 5 chamar. Em seguida, vamos rever este procedimento de mercado para uma determinada moeda Em particular, vamos derivar fórmulas de forma fechada, de modo a tornar a sua construção mais explícita Vamos então testar a robustez em uma estática Sentido do sorriso resultante, em que mudando consistentemente os três pares iniciais de greve e volatilidade produz eventualmente a mesma curva de volatilidade implícita. Também mostraremos que o mesmo procedimento aplicado às reivindicações Europeanstyle é consistente com os resultados de replicação estática e considerar, como um exemplo , O caso prático de uma opção quanto europea Vamos finalmente provar que o procedimento de mercado também pode ser justificado em termos dinâmicos, definindo um hedging Estratégia que é localmente replicar e auto-financiamento 2 Uma breve descrição do mercado de opções de FX No mercado de opções de FX, a matriz de volatilidade é construída de acordo com a regra de Delta pegajoso O pressuposto subjacente é que as opções são preços dependendo de seu Delta, Quando o preço do activo subjacente se move e o Delta de uma opção muda de acordo, uma volatilidade implícita diferente tem de ser ligada à fórmula de fixação de preços. 1.2 O mercado de opções de FX é muito líquido, até expirações relativamente longas de 2 anos, pelo menos para o EUR USD A volatilidade at-the-money ATM está prontamente disponível eo RR de inversão de risco para 25 call e put eo VWB vega-weighted butterfly com 25 asas também são comumente negociados 1 A partir destes dados pode-se facilmente inferir três implícitas básicas Volatilidades, a partir das quais pode-se, em seguida, construir todo o sorriso para o intervalo executando a partir de um 5 colocar a uma chamada 5 de acordo com o método que será descrito abaixo Nós denotar por S t o valor de uma determinada troca Taxa no momento t e assumir constantes taxas domésticas e estrangeiras sem risco, que serão denotadas, respectivamente, por rd e rf Consideramos então uma maturidade de mercado T e definimos as cotações relacionadas no seguinte A volatilidade ATM cotada no mercado de câmbio é a de Um straddle, cuja greve, para cada expiração dado, é escolhido de modo que um put e um call têm o mesmo, mas com sinais diferentes não hedge é necessário ao negociar este straddle Denotando por AT M a volatilidade ATM para o T de expiração, a greve ATM K AT M deve, então, satisfazer Ln S e rf TK AT M rdrf 2 AT MT e rf T ln SK AT M rdrf 2 AT MT AT MT AT MT onde denota a função de distribuição normal padrão cumulativa A álgebra direta leva a K AT MS e rf r 2 AT MT 1 O RR é uma estrutura típica onde um compra uma chamada e vende um put com um simétrico O RR é citado como a diferença entre as duas volatilidades implícitas, 25 c e 25 p para ligar para o Black e Scholes fórmula para o Chamada e o put respectivamente Denotin G tal preço, em termos de volatilidade, por RR, temos 2 RR 25 c 25 p 2 O VWB é construído por vender um ATM straddle e comprar um estrangulamento 25 Para ser Vega ponderada, a quantidade do primeiro tem que ser Menor do que a quantidade deste último, uma vez que o Vega do straddle é maior do que o Vega do estrangulamento O preço da borboleta em termos de volatilidade, VWB, é então definido por VWB 25 c 25 p 2 AT M 3 Para a expiração dada T , As duas volatilidades implícitas 25 c e 25 p podem ser imediatamente identificadas pela resolução de um sistema linear. Obtemos 25 c AT MVWB RR 4 1 Soltamos o sinal após o nível do, de acordo com o jargão do mercado Portanto, uma chamada 25 é Uma chamada cujo Delta é 25 Analogamente, uma 25 posta é uma cuja Delta é Um RR positivo significa que a chamada é favorecida em que a sua volatilidade implícita é maior do que a volatilidade implícita da posto um número negativo implica o oposto 2.3 25 p AT MVWB 1 2 RR 5 Os dois golpes correspondentes aos 25 put e 25 call podem ser derivados, à ré Por exemplo, para um 25 put temos que ter o que imediatamente leva a e rf T ln S 5 prdrf 2 25 p T 25 25 p T 5 p S e 25 p T r r r rf 2 25 p T 6 onde 1 1 4 erf T e 1 é a função de distribuição normal inversa Da mesma forma, obtém-se também 5 c S e 25 c T rdrf 2 25 c T 7 Ressaltamos que, para os parâmetros típicos de mercado e para vencimentos até dois anos, E 3 5 p K AT M 5 c Na próxima seção, explicaremos como usar as volatilidades implícitas básicas e as greves relacionadas, para inferir consistentemente o sorriso inteiro para a expiração dada T Para isso, trabalharemos com a O mesmo tipo de opções, por exemplo chamadas, considerando diretamente seus preços de mercado em vez de volatilidades. Para aligeirar a notação e simplificar futuras fórmulas, iremos denotar as greves cotadas para a maturidade T dada por K i, i 1, 2, 3, K 3, 4 E conjunto K Os preços de opções de mercado relacionados, respectivamente denotados por C MKT, C MKT e C MKT K 3, são ass Considere uma opção de compra europeia com maturidade T e strike K, cujo preço de Black e Scholes, no tempo t, é denotado por C BS t K, em S t C BS T KS te rf K rd rf 1 2 2 Em S t Ke rd K rd rf 1 2 2 8 onde T t, e é um dado parâmetro de volatilidade É sabido que sob o modelo Black-Scholes 1973 BS, o payoff da chamada pode 8 Em mercados financeiros reais, no entanto, a volatilidade 3 Para longos prazos de vencimento, é prática de mercado considerar a taxa de câmbio a termo como a greve de ATM 4 e K 3 substituem respectivamente 5 p, K AT M e 5 c 3,4 é estocástica e os operadores cobrem o risco associado construindo portfólios Vega-neutros Dada a natureza específica do mercado de opções de FX, as carteiras também podem ser construídas de forma a corresponder Derivadas parciais até a segunda ordem, de modo que, b O procedimento empírico baseia-se na derivação de tal carteira de hedge para a chamada acima com maturidade T e golpe K Precisamente, queremos encontrar tempo - T pesos x 1 t K, x 2 t K e x 3 t K de tal forma que a carteira resultante de chamadas europeias com maturidade T e greves e K 3, respectivamente, proteja as variações de preços da chamada com maturidade T e strike K, Até a segunda ordem no subjacente e na volatilidade assumindo uma posição de hedge e dado que, no mundo BS, as carteiras de opções de plain-vanilla com o mesmo maturidade que são Vega neutras são também Gamma neutras, os pesos x 1 t K , X 2 t K e x 3 t K pode ser encontrado impondo que a carteira de replicação tenha o mesmo Vega, dvegadvol volga e dvegadspot vanna como a chamada com strike K, a saber C BS t K 2 C BS t K 2 2 C BS S tt K BS C xit K t K ixit K 2 C BS 2 t K ixit K 2 C BS S tt K i 9 Denotando por V t K O tempo-t Vega de uma opção europeia com maturidade T e k, V t KC BS t KS te rf d 1 t K d 1 t K ln S t K rd rf 2 xx 1 e 1 2 x 2 2 1 e calcular o Derivadas de segunda ordem, pode-se provar que: 2 C BS V t K t K d 2 1 t K d 2 t K 2 C BS V t K t KS t S td 2 t K d 2 t K d 1 t K 4,5 Proposição 3 1 O sistema 9 admite sempre uma solução única, que é dada por x 1 t K x 2 t K x 3 t KV t K ln KKV t ln V t KV t V t KV t K 3 ln KK ln ln K ln K 11 Em particular, se KK j então xit K 1 para ij e zero caso contrário Proof Consulte o apêndice 4 O preço da opção resultante Podemos agora proceder à definição de um preço de opção que é consistente com os preços de mercado das opções básicas Um sorriso consistente Preço para a chamada com greve K é obtido adicionando ao preço de BS o custo de implementar a estratégia de cobertura acima a preços de mercado prevalecentes em fórmulas, para t, CKC BS K xi KC MKT K i C A notação, a dependência do v O tempo de alucinação t é omitido em seguida quando zero 5 O preço da nova opção é assim definido adicionando ao preço de sorriso plano BS a diferença de custo da carteira de hedge induzida pelo mercado volatilidades implícitas em relação à volatilidade constante Resultados de robustez e consistência para a opção O preço 12 é fornecido abaixo Quando KK j temos claramente que CK j C MKT K j, uma vez que xi K 1 para ij e zero de outra forma Por isso, 12 define nada, mas uma regra para interpolar ou extrapolação de preços a partir das três opções C C MKT, C MKT e C MKT K 3 Uma curva de volatilidade implícita no mercado pode então ser construída por inversão de 12, para cada K considerado, através da fórmula BS. Um exemplo de tal curva é fornecido na Figura 1, onde traçamos volatilidades implícitas, Contra put Deltas Utilizamos os seguintes dados EUR USD a partir de 1 de Julho 25 T 3m 94 365y, S 1 25, AT M 9 5, RR 5, VWB 13, que conduzem a 25 c 8 93, 5 c 9 5, 25 p 9 43, K ATM 5 p e 5 c Veja também Tab Les 1 e 2 5 Este preço depende do parâmetro de volatilidade Na prática, a escolha típica é fixar AT M 5.6 Volatilidade Strike Put delta Figura 1 EUR EUR volatilidades implícitas traçadas tanto contra greves quanto contra Deltas, onde as três cotações básicas de mercado são destacadas O preço da opção CK, em função da greve K, satisfaz as seguintes condições de no-arbitragem: i 2, ii lim KCKS e rf T e lim KCK iii lim cc Kk dk e rdt e lim KK dc K dk A segunda e terceira propriedades, Que são trivialmente satisfeitos por C BS K, derivam do fato de que para cada i, tanto xi K quanto dx i K dK passam a zero para K ou K Para evitar oportunidades de arbitragem, o preço de opção CK também deve ser uma função convexa de A greve K, ou seja, 2 C d K para cada K Essa propriedade, que não é verdadeira em geral, 6 mantém-se contudo para os parâmetros típicos de mercado, de modo que 12 leva a preços que são livres de arbitragem na prática 5 Uma aproximação para implícita Volatilidades A definição acima de opção , Combinado com a nossa fórmula analítica 11 para os pesos, permite a derivação de uma aproximação direta para a volatilidade implícita associada a 11 Isto é descrito na seguinte Proposição 5 1 A volatilidade implícita k para a opção acima com preço CK é aproximadamente dada Por k 1 K ln KK ln 25 p ln KK ln ATM ln K ln K 25 c 13 6 Pode-se realmente encontrar casos em que a desigualdade é violada para alguma greve K 6.7 verdadeira sorriso aproximação 11 verdadeiro sorriso aproximação Strike Put Delta Figura 2 EUR USD As volatilidades implícitas e suas aproximações, traçadas tanto contra greves como contra Deltas Proof Veja o apêndice A volatilidade implícita k pode assim ser aproximada por uma combinação linear das volatilidades básicas, com combinadores yi K que somam-se a uma como álgebra tediosa mas direta Mostra É também facilmente visto que a aproximação é uma função quadrática de ln K, de modo que se pode recorrer a uma simples interpolação parabólica quando as coordenadas de log são Usada Uma representação gráfica da bondade da aproximação 13 é mostrada na Figura 2, onde usamos os mesmos dados de EUR USD que para a Figura 1 A aproximação 13 é extremamente precisa dentro do intervalo, K 3 As asas, no entanto, tendem a ser sobrevalorizadas De fato, sendo a forma funcional quadrática no logstrike, as condições de não arbitragem derivadas por Lee 24 para o valor assintótico de volatilidades implícitas são aqui violadas. Esta desvantagem é abordada por uma segunda aproximação mais precisa, que é assintoticamente constante no extremo Greves Proposição 5 2 A volatilidade implícita k pode ser melhor aproximada da seguinte maneira em que k 2 K 2 d 1 K d 2 K 2 D 1 KD 2 K d 1 K d 2 KD 1 K ln KK ln 25 p ln KK ln ATM ln K Ln K 25 c 1 KD 2 K ln KK ln d 1 d 2 25 p 2 ln K ln K ln K d 1 K 3 d 2 K 3 25 c 2 7, 14 K d ln 1 d 2 ATM 2,8 115 aproximação do sorriso verdadeiro 115 aproximação de sorriso verdadeiro Strike Put Deltas Figura 3 EUR USD volatilidades implícitas e suas aproximações, traçadas tanto contra stri Kes e contra Deltas e d 1 x ln S xrdrf 2 T, d 2 xd 1 x T, x T Proof Ver o apêndice Como podemos ver na Figura 3, a aproximação 14 é extremamente precisa também nas asas Seu único inconveniente é que Não pode ser definido devido à presença de um termo de raiz quadrada A radicand, no entanto, é positivo na maioria das aplicações práticas 6 Um primeiro resultado de consistência para o preço CK Agora afirmamos dois importantes resultados de consistência que se mantêm para o preço da opção 11 e Que dão mais apoio ao procedimento empírico acima O primeiro resultado é o seguinte Pode-se perguntar o que acontece se aplicarmos o nosso método de construção de curvas quando começarmos a partir de três outras greves cujos preços associados coincidem com os provenientes da fórmula 12 Claramente, para que nosso procedimento seja Robusto, queremos que as duas curvas coincidam exatamente. De fato, considere um novo conjunto de batidas H e denote os pesos anteriores xi K por xi KK para sublinhar a dependência do conjunto de golpes iniciais Analogamente, xi KH wi 11 denotam os pesos para a greve K que são derivados do novo conjunto de golpes H O preço da opção para cada H i é, por suposição, igual ao que vem de 12, ou seja, CHH i CKH i C BS H ixj H i KCK j C BS K j 15 j 1 8.9 onde os sobrescritos H e K realçam o conjunto de greves em que se baseia o procedimento de determinação de preços Para uma greve genérica K, o preço de opção associado a H é definido, de forma análoga a 12, por CHKC BS K xj KHCHH J C BS Hjj 1 Proposição 6 1 Os preços de chamada baseados em H coincidem com aqueles baseados em K, ou seja, para cada strike K, CHKCKK 16 Prova Ver o apêndice 7 Um segundo resultado de consistência para o preço CKA segundo resultado de consistência que pode ser Comprovada para o preço de opção 11 diz respeito à fixação de preços de derivativos de estilo europeu e sua replicação estática Para este fim, suponha que h é uma função real que é definida em,, é bem comportado no infinito e é duplamente diferenciável no sentido de distribuições Given A reivindicação simples com payoff hs T at ti Me T, denotamos por V seu preço no tempo, quando levando em conta o efeito sorriso Por Carr e Madan 1998, temos V e rdt h S e rf T hhxcx dx O mesmo raciocínio adotado anteriormente para a construção da curva de volatilidade implícita Pode ser aplicado ao retorno geral hs T Podemos assim construir uma carteira de chamadas europeias com maturidade T e greves, e K 3, de modo que a carteira tem o mesmo Vega, dvegadvol e dvegadspot como derivado dado Denotando por V BS a reivindicação Preço sob o modelo de Black e Scholes 1973, isto é conseguido encontrando pesos xh 1, xh 2 e xh 3 tais que V BS 2 V BS 2 2 V BS S xhixhixhi C BS K i 2 C BS 2 K i 2 C BS SK I que sempre existem únicas, como já provado na Proposição 3 1 Podemos então definir um novo sorriso consistente preço para a nossa derivada como VV BS xhi CK i C BS K i 17 9.10 Proposição 7 1 O preço de reivindicação que é consistente com os preços das opções C é igual ao preço de reivindicação que é obtido ajustando seu Black e Schol Es preço pela diferença de custo da carteira de cobertura ao usar os preços de mercado CK i em vez dos preços de volatilidade constantes C BS K i Em fórmulas VV Proof Veja o apêndice Esta proposição indica um resultado de consistência clara para reivindicações simples de estilo europeu De fato, Calculamos a carteira de hedge para a reivindicação sob volatilidade plana e adicionamos ao preço de sinistro calculado com o modelo Black e Scholes a diferença de custo do preço de mercado da carteira de hedge menos o preço de volatilidade constante, recuperamos exatamente o preço de sinistro obtido através da relação risco - Neutra implícita pelos preços das opções de compra que são consistentes com o sorriso do mercado Este resultado útil será aplicado na próxima seção para o caso específico de uma opção de quanto 8 Um exemplo de sorriso consistente de preços de uma opção quanto A opção é um derivado pagando No vencimento T o montante s TX em moeda estrangeira, o que equivale a s TXST em moeda nacional, onde 1 para uma chamada e 1 para Um põr Os argumentos padrão na replicação estática implicam que os preços do call e do put do quanto podem ser escritos nos termos da chamada simples e dos preços do put do seguinte modo: QXT X, X 2 X QPut T, É o preço de venda com strike X e maturidade T, ou seja, PXCXS e rf TX e rdt Verificamos agora, com dados reais de mercado, que os preços de opções de quanto 18 são iguais aos preços 17 provenientes de argumentos de cobertura. De 1 ° de julho, 25, conforme relatado nos Quadros 1 e 2 Nossos cálculos são relatados na Tabela 3, onde os preços de opção quanto calculados com argumentos de hedge, ou seja, com a fórmula 17, são comparados com os preços de replicação estática 18 que são obtidos usando 5 E 3 passos e, respectivamente, um passo de ataque constante de 15 e 25 7 As diferenças percentuais entre estes preços também são mostradas 7 As integrais em 18 podem, naturalmente, ser calculadas com procedimentos mais eficientes Aqui, no entanto, só queremos mostrar numericamente a Correção do nosso pri 1.11 Vencimento USD fator de desconto EUR fator de desconto 3m 3 1 y 3 7 Tabela 1 Dados de mercado a partir de 1º de julho de 25 Delta 3M 1Y 25 Colocar ATM 25 Call Tabela 2 Greves e volatilidades correspondentes aos três principais Delta s, a partir de julho 1, 25 O objetivo deste exemplo é também mostrar que os preços das opções podem ser derivados, consistentemente com o sorriso do mercado, usando apenas três opções européias e não um continuum de greves, Concluir o artigo motivando o procedimento de precificação empírica também em termos dinâmicos A abordagem aparentemente arbitrária de zerar derivados parciais de preços de BS até a segunda ordem pode ser justificada pelo fato de que o modelo de BS ainda é um ponto de referência na avaliação de um livro de opções Há várias razões para esse fato, além do óbvio histórico de facilidade de implementação ii significado claro e intuitivo dos parâmetros do modelo iii sensibilidades prontamente disponíveis e possibilidade de Fórmulas explícitas para a maioria dos payoffs Nenhum outro modelo possui todos esses recursos ao mesmo tempo 8 Na verdade, não é uma prática tão estranha para executar um livro de opções de FX, reavaliando e hedging de acordo com um modelo BS flat-sorriso, embora a volatilidade ATM É continuamente atualizado para o nível de mercado de negociação 9 Agora provamos que se as opções européias são todas valorizadas com a mesma volatilidade estocástica implícita vamos dizer que a volatilidade ATM, as alterações de valor da carteira de hedge localmente rastreia aqueles da chamada dada para este fim, Consideramos um tempo genérico t e assumimos dinâmicas de tipo Ito para a volatilidade t Assim temos, por Ima s lemma, dc BS t KC BS t K dt C BS t K ds t C BS t K dtt SC BS t K ds 2 S 2 t 19 C BS t K d 2 2 t C BS t K ds tdt S 8 Uma possível exceção é o modelo de parâmetro incerto de Brigo, Mercurio e Rapisarda 24 9 Continuamente significa, tipicamente, uma atualização diária ou ligeiramente mais freqüente 11.12 Expiração de greve 3M 1Y 3M 1Y 3M 1Y Argumentos de cobertura Chamada Pôr Réplica estática Íon 5 passos Chamar Pct Diff Colocar Pct Diff Replicação estática 3 passos Chamar Pct Diff Colocar Pct Diff Tabela 3 Comparação de preços de opção quanto obtidos através das fórmulas 17 e 18 Supondo também uma posição afastada e que as greves K i são aquelas derivadas na inicial Tempo, obtemos imediatamente dc BS t KC BS t K xit K dc BS t K ele C BS t K 1 2 C BS t K 2 S 2 C BS t K 2 2 2 C BS t KS xit KC BS t K i dt Txit KC BS t K idtxit K 2 C BS t K i S 2 xit K 2 C BS t K i 2 xit K 2 C BS t K i S ds t 2 dt 2 ds tdt O segundo, quarto e quinto termo no RHS De 2 são zero por definição dos pesos xi, enquanto que o terceiro é zero devido à relação que liga as opções Gamma e Vega no mundo BS Pelo mesmo motivo, e lembrando que cada opção é - hedged, também temos 2 12,13 têm tão Que C BS t K tcc BS t K xit KC BS t K itrd C BS t K xit K dc BS t K ir C d BS t K xit KC BS t K i 21 xit KC BS t K i dt 22 A expressão em O RHS desta equação é conhecido no momento Portanto, a carteira feita de uma posição longa na chamada com strike K e três posições curtas em xit K chama com strike K i é localmente sem risco no tempo t, em que não há termos estocásticos envolvidos em seu diferencial Como é bem sabido, No paradigma BS sendo longo o call com strike K e short C BS S partes do ativo subjacente é equivalente a segurar uma carteira localmente sem risco Quando a volatilidade é estocástica, e as opções ainda são valorizados com a fórmula BS, ainda podemos ter um local Hedge perfeito, desde que possamos quantidades adequadas de três opções diferentes. Podemos nos perguntar por que precisamos de três opções para descartar a incerteza devido a uma volatilidade estocástica, e não apenas uma como acontece tipicamente ao introduzir uma fonte unidimensional adicional de aleatoriedade. A razão é dupla Em primeiro lugar, não estamos usando um modelo consistente, mas simplesmente um procedimento de avaliação De fato, nenhum modelo de volatilidade estocástica de difusão bidimensional pode produzir sorrisos planos para todos os vencimentos Em segundo lugar, não estamos assumindo dinâmicas específicas para o subjacente ea volatilidade, mas apenas uma difusão geral. As três opções, de fato, também são necessárias para excluir o risco do modelo, uma vez que nossa estratégia de hedge é derivada independentemente do verdadeiro ativo e volatilidade Dinâmica sob a suposição de não saltos 1 Conclusões Nós descrevemos um procedimento empírico de mercado para construir curvas de volatilidade implícitas no mercado de FX Vimos que a construção de sorriso leva a uma fórmula de precificação para qualquer reivindicação contingente de estilo europeu Temos então provado resultados de consistência Com base na replicação estática e nos argumentos de hedging O procedimento de construção do sorriso ea fórmula de preços relacionados são bastante gerais De fato, apesar de terem sido desenvolvidos para opções de FX, eles podem ser aplicados em qualquer mercado onde três cotações de volatilidade estão disponíveis para um determinado prazo Uma última questão, não resolvida, diz respeito à valorização de opções exóticas por meio de alguma generalização do procedimento empírico w Isto é, em geral, uma questão bastante complexa para tratar, considerando também que as volatilidades implícitas atuais contêm apenas informações sobre densidades marginais, o que, obviamente, não é suficiente para avaliar derivados dependentes de trajetória. Para reivindicações exóticas, Por exemplo, os preços das opções de barreira podem ser obtidos ponderando a diferença de custo da estratégia de replicação pela probabilidade neutra de risco de não cruzar a barreira antes da maturidade. No entanto, não só esses ajustes são mais difíceis de justificar teoricamente do que Aqueles no caso da baunilha simples, mas, do ponto de vista prático, eles podem até ter um sinal oposto em relação ao implícito nos preços de mercado Apêndice A as provas Prova da Proposição 3 1 Escrever o sistema 9 na forma x 1 t KA X 2 t KB, x 3 t K álgebra simples leva a det a V t V t V t K 3 S 2 d2 t K 3 d 1 td 2 td 2 td 1 t K 3 d 2 t K 3 T d 1 td 2 Td 2 t K 3 d 1 t K 3 d 2 T K 3 d 2 td 2 td 1 td 2 td 1 td 2 td 2 t V t V t V t K 3 S 5 T 2 Em 23 que é estritamente positivo desde K 3 Portanto, 9 admite uma solução única e 11 segue de A regra de Cramer Prova da Proposição 5 1 Na primeira ordem em, temos CKC BS K xi KVK iki, que, lembrando 11 eo fato de que 3 xikvki VK, leva a CKC BS KVK yi KK i, onde y 1 K ln KK ln 2 K ln KK ln y 3 K ln K ln K 14,15 Então 13 segue da expansão de Taylor de primeira ordem CKC BS KVKK Prova da Proposição 5 2 Na segunda ordem, temos CKC BS K Analogamente, para que possamos escrever xi KVK iki C BS 2 2 K iki 2 CKC BS KVKKC BS KK 2 2 VKK xi KVK iki C BS KK 2 2, 2 C BS 2 K iki 2 Resolver esta equação de segunda ordem algébrica em k leva então a 14 Proof of Proposition 6 1 A igualdade 16 é válida se e somente se xj KHCHH j C BS H jj 1 xi KKCK i C BS K i Usando 15 e rearranjando termos, o lado esquerdo pode ser escrito como xj KHCHH j C BS Hjj 1 xj K H xi H j KCK i C BS K ij 1 xj KH xi H j KCK i C BS K ij 1 que é igual ao lado direito da igualdade acima, pois, para cada golpe K e j 1, 2, 3, xi KK xj KH xi H j K 24 j 1 a partir de uma aplicação tediosa, mas direta, da fórmula 11 para os pesos 15.16 Prova de Proposição 7 1 Para cada operador L temos LV BS L e rdt h S e rf T hh KC BS K Dk h K LC BS K dk que, por definição dos pesos xi K, se torna LV BS h K xi K LC BS K i dk h K xi K LC BS K i dk h K xi K dk LC BS K i Pela singularidade Dos pesos xhi temos assim xhi Substituindo em 17, obtemos VV BS V BS V BS h K h K xi K dk, i 1, 2, 3 h K xi K dk CK i C BS K ixi KCK i C BS K O preço VV 12 é definido sem introduzir pressupostos específicos sobre a distribuição do activo subjacente. No entanto, o conhecimento dos preços das opções para cada possível greve implícita Determina uma 16.17 8 7 Vanna Volga BS Figura 4 Densidade neutra ao risco de Vanna-Volga comparada com a lognormal proveniente do modelo BS com volatilidade ATM pelo resultado geral de Breeden e Litzenberger 1978 , A densidade neutra do risco p T da taxa de câmbio ST pode ser obtida diferenciando o dobro do preço da opção 12 p TK e rd T 2 CK erd T 2 C BS K erd T i 2 xi KC MKT K i C BS K i 25 O primeiro termo no RHS é a densidade lognormal p BS T associada ao movimento browniano geométrico com taxa de deriva rdrf e volatilidade O segundo termo, que é o desvio da lognormalidade induzida pelo sorriso VV, é mais envolvido e pode ser calculado diferenciando Duas vezes os pesos 11 Obtemos 2 x 1 KK 2 2 x 3 KK 2 VK 2 TV ln 2 T d 1 K ln K 3 VK 2 TVK 3 2 T d 1 K ln d1 K 2 T d 1 K 1 ln 2 T ln K 2K K 2 d 1 K 2 T d 1 K 1 ln 2 T ln K 1K KKK ln KA parcela da densidade de risco-neutro associada a 12 é mostrada na Figura 4, onde é comparado com a densidade lognormal normal p BS T 17.18 Referências 1 Black, F e Scholes, M 1973 O preço das opções e obrigações societárias Jornal da Economia Política 81, 2 Breeden, DT e Litzenberger, RH 1978 Preços do Estado 5 Alegria à incerteza Risco 17 5, 4 Carr, PP e Madan, DB 1998 Rumo a uma Teoria da Volatilidade Negociação em VOLATILIDADE eds Os preços atuais, opções com diferentes greves ou vencimentos são geralmente preços com diferentes volatilidades implícitas Este fato estilizado , Que é comumente referido como efeito de imobilização, pode ser acomodado recorrendo a modelos específicos, quer para a determinação de preços de derivados exóticos, quer para inferir volatilidades implícitas para greves não cotadas ou Maturidades A tarefa anterior é normalmente conseguida através da introdução de dinâmicas alternativas para o preço do activo subjacente, enquanto o último é muitas vezes abordado por meio de ajustes estáticos ou interpolações. Neste artigo, lidamos com esta última questão e analisar uma possível solução em um câmbio Mercado de opções de FX Em tal mercado, de fato, existem apenas três cotações ativas para cada maturidade de mercado, a 0Delta straddle, a inversão de risco ea borboleta vega-ponderada, apresentando-nos assim o problema de uma determinação consistente das outras volatilidades implícitas. FX corretores e os criadores de mercado tipicamente abordar esta questão, utilizando um procedimento empírico para construir o sorriso inteiro para um dado prazo As cotações de volatilidade são então fornecidos em termos da opção s Delta, para intervalos de 5Delta colocar para a chamada 5Delta. Em seguida, vamos rever este procedimento de mercado para uma determinada moeda Em particular, vamos derivar fórmulas fechadas para tornar a sua construção Mais explícito Vamos então testar a robustez num sentido estático do sorriso resultante, em que mudando consistentemente os três pares iniciais de greve e volatilidade produz eventualmente a mesma curva de volatilidade implícita. Também mostraremos que o mesmo procedimento aplicado às reivindicações do estilo europeu é consistente Com resultados de replicação estática e consideremos, por exemplo, o caso prático de uma opção europea. Finalmente, provaremos que o procedimento de mercado também pode ser justificado em termos dinâmicos, definindo uma estratégia de hedge que é replicante e autofinanciamento local. Palavras-chave FX opção, sorriso, consisten preços, stochastic volatility. JEL Classificação G13.Suggested Citação Sugerido Citation. Castagna, Antonio e Mercurio, Fabio, preço consistente de opções de FX disponíveis em SSRN or. Iason Ltd email. Consistent Preços de FX Options. In Os mercados atuais, as opções com diferentes greves ou vencimentos são geralmente preços com diferentes volatilidades implícitas Este fato estilizado , Que é comumente referido como efeito de fissura, pode ser acomodado recorrendo a modelos específicos, quer para a fixação de preços de derivados exóticos, quer para inferir volatilidades implícitas para greves ou maturidades não cotadas. A tarefa anterior é normalmente conseguida introduzindo dinâmicas alternativas para o preço do activo subjacente, Enquanto o último é muitas vezes abordado por meio de ajustes estáticos ou interpolações. Em este artigo, lidamos com esta última questão e analisar uma possível solução em um mercado cambial de opções de câmbio FX Em tal mercado, na verdade, existem apenas três citações ativas Para cada maturidade de mercado o 0Delta straddle, a inversão de risco ea borboleta vega-ponderada, apresentando-nos assim com o problema de uma determinação consistente das outras volatilidades implícitas. FX corretores e fabricantes de mercado tipicamente resolver esta questão, usando um procedimento empírico para construir O sorriso inteiro para um dado prazo As cotações de volatilidade são então fornecidas em termos da opção s Delta, para r anges from the 5Delta put to the 5Delta call. In the following, we will review this market procedure for a given currency In particular, we will derive closed-form formulas so as to render its construction more explicit We will then test the robustness in a static sense of the resulting smile, in that changing consistently the three initial pairs of strike and volatility produces eventually the same implied volatility curve We will also show that the same procedure applied to Europeanstyle claims is consistent with static-replication results and consider, as an example, the practical case of a quanto European option We will finally prove that the market procedure can also be justified in dynamical terms, by defining a hedging strategy that is locally replicating and self-financing. Keywords FX option, smile, consisten pricing, stochastic volatility. JEL Classification G13.Suggested Citation Suggested Citation. Castagna, Antonio and Mercurio, Fabio, Consistent Pricing of FX Options Availabl e at SSRN or. Iason Ltd email.